Оригами № 1(21) 2000

Оригаметрия

Предлагаем вашему вниманию небольшую статью,

присланную нам из Архангельска выпускни­цей 1999 г.

математического факультета Поморского ГУ

Полиной Вла­димировной Цывуниной.

Это часть её дипломной работы по математике и методике преподава­ния математики, которая называется "Теоретические основы использования оригами в обучении математике".

Руководство дипломной работой и подготовкой статьи осуществляла доцент кафед­ры методики преподавания математики Мария Валерьевна Шабанова.

Сейчас Полина Владими­ровна ведёт кружок "Оригами и геометрия" в школе № 6 с углублённым изучением английского языка г. Архангельска.

Как всё просто, а сколько учеников замучили себя до полусмерти, пытаясь выучить сложное до­казательство из школьного учебника

Уже стали появляться и теоремы оригами. На­пример, теорема Кавасаки о количестве и сумме углов при складывании плоскости первого поряд­ка в плоскость второго порядка. Есть и другие при­меры...

Совсем недавно такая научная область получи­ла название оригаметрии. Но, скажут ученые ма­тематики, всё это несерьёзно. Ведь любая наука (а тем более математика) должна быть основана на аксиоматическом методе. Только тогда её мож­но считать безупречной!

Что же такое аксиоматический метод? Большин­ство читателей далеки от математики, теории построения любой науки и имеют весьма скромные представления о сущности и значении аксиомати­ческого метода. Поэтому попробуем, не углубля­ясь в сложные математические термины, кратко рассказать о нём на примере оригаметрии.

Любая научная теория пестрит утверждениями и доказательствами их справедливости. При этом обычно одни утверждения доказываются на осно­ве знаний об истинности других, и так до бесконеч­ности. Но есть же какое-то начало! Оказывается, в любой науке есть утверждения, которые нельзя доказать, потому что они самые первые. Такие ут­верждения принимаются на веру. Они и называют­ся аксиомами. Вспомните, например, аксиомы планиметрии (Евклидовой геометрии).

Обычно для построения теории используется не одна, а несколько аксиом, которые играют роль своеобразных "краеугольных камней", на которых потом возводится вся конструкция той или иной теории, то есть из таких аксиом выводятся все ос­тальные утверждения. Такой набор аксиом назы­вают системой, поскольку они подбираются по оп­ределённым правилам. Вот они:

·        аксиомы должны быть независимы, то есть ни одна из них не должна выводится из остальных;

·        система аксиом не должна быть противоречивой, то есть не должна содержать двух противоре­чивых утверждений и не должна позволять выво­дить противоречивые утверждения из этих аксиом;

·        система аксиом должна быть полной, то есть любое утверждение в пределах данной теории должно доказываться на основе имеющихся аксиом без привлечения каких-либо других утверждений.

Удобство аксиоматического метода построения научной теории заключается в том, что если истин­ность утверждения доказывается на основе имею­щейся системы аксиом, то можно быть совершен­но уверенным, что оно справедливо и нет нужды устраивать дополнительные проверки.

Итак, если оригаметрия - наука, то в ней дол­жен работать аксиоматический метод. Оказывает­ся, аксиомы оригаметрии существуют! Их предло­жил живущий в Италии японский математик Хумиани Хузита. Таких аксиом с его точки зрения всего шесть. Вот они: существует единственный сгиб, проходящий через две данные точки (рис.1), совмещающий две данные точки (рис.2), совмеща­ющий две данные прямые (рис.3), проходящий че­рез данную точку и перпендикулярный данной пря­мой (рис.4), проходящий через данную точку и помещающий другую данную точку на данную пря­мую (рис.5), помещающий каждую из двух данных точек на одну из двух данных прямых (рис.6).

Все остальные следствия оригаметрии можно вывести из данных аксиом, которые принимаются как справедливые без доказательств.

Оригаметрия - область очень молодая, и пока не существует ни соответствующих программ, ни учебников, которые давали бы подобный матери­ал систематически. Вместе с тем, многие понятия курса геометрии в школе гораздо проще и нагляд­нее объясняются с помощью оригаметрии, чем принятыми способами. Поэтому задача современ­ных педагогов и оригамистов состоит в том, чтобы постепенно творчески развивать данную область, добиваясь в конечном счёте её органического включения в школьные курсы геометрии.

П.В.Цывунина, Архангельск

⇨: Ирина Богатова

⇦: Два квадрата

⇧ (Оглавление № 21)