Оригами № 3(23) 2000

Правильный восьмиугольник

Окружность и правильные многоугольники, полученные делением её на равные части, - треугольник, квадрат, шестиугольник, восьмиугольники др. - симметричны относительно центральной оси. Это свойство многоугольников относит их к разряду «красивых форматов», т. е. фигур, обладающих эстетическими качествами, «приятными глазу и уму».

Наиболее часто изображение восьмиугольника в различных культурах встречается в виде двух квадратов, повёрнутых относительно друг друга на 45 градусов. Один квадрат олицетворяет при этом статичную Землю, как противопоставление кругу Небес. Другой - символизирует конец материального мира, переход его в духовную субстанцию. Таким образом, восьмиугольник у многих народов и в различных религиях использовался как символ живой Вселенной. Он часто служит основанием купола в архитектуре и осуществляет переход от квадрата к кругу, символизируя возрождение, обновление, восстановление. Это обстоятельство наложило свой отпечаток на широкое применение двух скрещенных квадратов в храмовой архитектуре и изобразительном искусстве.

Восьмигранная Башня Ветров (в которой учтены как основные, так и угловые направления ветров) в Афинах (I в. до н. э.); крупнейшая в мире христианская церковь - собор святого Петра в Риме (1564 г.); основания куполов в соборе Василия Блаженного в Москве (рис. 1) имеют в своём плане восьмиугольник.

При соединении противоположных сторон восьмиугольника образуется два креста: прямой христианский и наклонный Андреевский. Этот знак можно увидеть на современных флагах Великобритании, Австралии...

Рис. 1.

Рис.2

При незначительных преобразованиях фигуру из двух квадратов (восьмиугольник) можно представить в виде восьмиконечной звезды (рис. 2).

Эта звезда рассматривается как крест, у которого каждый луч похож на «ласточкин хвост». Восьмиугольник в таком прочтении используется в некоторых орденах и различных талисманах.

Часто изображение восьмиконечной звезды упрощалось: уже не просто звезда с восемью лучами, а эмблема Солнца в виде колеса со ступицей, ободами и спицами (рис. 3).

Подобные фигуры были наиболее распространены в Индии, Японии, Тибете...

Рис.3

Рис. 4.

Ба-гуа - это восьмиугольный символ (рис. 4), содержащий четыре основных направления и четыре промежуточных. В отличие от христианского дуализма, который предполагает победу света над тьмой, китайцы были более реалистичны и прагматичны, понимая, что жизнь состоит из смешения света и тьмы, тепла и холода.

Идеал в их философских учениях и религии заключался в правильном, пропорциональном смешении противоположностей. Инь-ян (рис. 5) - высший и неделимый символ единства и созидательного взаимодополнения противоположностей во Вселенной. В китайском классическом трактате «Ицзин» («Книга перемен») инь и ян представлены в виде сплошных (ян) и прерывистых (инь) линий. Инь и ян лежат в основе китайского

Рис. 5.

понимания Вселенной. На самом простом уровне - это женское и мужское начала, соответственно: жена и муж, женщина и мужчина, тьма и свет, кислое и сладкое... На более общем уровне они представляют отрицательное и положительное. Инь и ян образуют восемь триграмм (рис. 6), каждая из которых состоит из трёх линий, расположенных друг над другом. Каждому направлению соответствовала своя стихия, животное, цвет, близкий родственник...

Рис. 6.

Возникло даже целое учение - фэн-шуй, объясняющее наилучшее взаимоотношение между триграммами и, например, расположением комнат в доме или офисе.

Традиционно считается, что ФоХи (Фу Си), древнейший законодатель Китая изобрёл триграммы около 3000 лет до н.э. Позднее Вэнь-ван (около 1150 г. до н. э.), сочетая каждую из восьми триграмм со всеми остальным, получил 64 гексаграммы «Ицзина». Этот классический трактат, развитый Чжоу-гуном, а затем Конфуцием, занимает центральное место в китайском понимании Вселенной, а также используется в качестве инструмента для прорицаний. Считается, что все перемены могут быть предсказаны с помощью этих 64 гексаграмм.

Гексаграммы (иначе этот китайский символ называется Же-Ким) состоят из шести находящихся одна над другой горизонтальных линий; одни из этих линий сплошные, другие имеют в середине разрыв.

Знаменитый Лейбниц нашёл, что Же-Ким есть не что иное, как ряд 64 последовательных первых чисел, написанных в двоичной системе. В самом деле, если обозначить единицу сплошной линией, а ноль - прерывистой, кроме того, единицы следующих высших разрядов писать снизу вверх, то китайский символ может быть истолкован так, как указано в таблице.

В математике существуют различные системы счисления. В основе их построения лежит несколько простых принципов:

в десятичной системе счисления (общепринятой и наиболее распространённой), используется 10 чисел (от 0 до 9), в двоичной - только два (0 и 1);

после того как «заканчиваются» числа первого разряда, следующее число в системе счисления получается написанием спереди единицы (например, после 9 в десятичной системе счисления пишут опять 0, но впереди него приписывают 1).

Как и в десятичной системе счисления, в любой другой (двоичной, восьмеричной, двенадцатеричной и др.) можно проводить арифметические действия, используя вышеперечисленные правила. В повседневной жизни чаще всего нам приходится проводить вычисления не в десятичной системе счисления, когда идёт счёт временных отрезков (минуты и часы, дни и месяцы, месяцы и годы). При этом, как правило, не возникает затруднений в решении задач типа: «1,5 года (или часа) - это сколько месяцев (минут)?»

Для наглядности и большей ясности о Же-Киме приведём его первые 16 фигур (цифр в двоичной системе счисления по Лейбницу).

Вид Же-Кима

Перевод в двоичную систему

По десятичной системе

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

Однако наш журнал носит сугубо практический и прикладной характер. Поэтому, чрезмерно не углубляясь в китайскую философию и заочный спор уважаемых Конфуция и Лейбница, предлагаем заняться складыванием оригами из бумаги различных форматов. Последователей такого направления в оригами становится всё больше и больше. Модели при этом получаются весьма интересные и своеобразные.

Андрей Никулин, Москва

⇨: Ек. и Ю. Шумаковы

⇦: Осьминог Сухомлинского

⇧ (Оглавление № 23)