Оригами № 5(19) 1999

Правильный треугольник

В современном оригами модели складывают не только из квадратных листов бумаги (как это при­нято в традиционном классическом оригами). Об оригами, сложенных из бумаги формата А4 и кру­га, наш журнал рассказывал в №№ 1/2 (16) и № 3 (17) за 1999 год. В этом номере — продолжение начатой темы.

Эстетическими качествами, приятными глазу и уму обладают только те форматы, которые имеют упорядоченную размерно-пространственную структуру. Её можно получить математически или путём геометрических построений, в т.ч. с помощью складывания листа бумаги. Одной из фигур, обладающих красивыми пропорциями, является равносторонний треугольник.

Для того чтобы «пощупать» гармонию и пропор­циональность правильного треугольника, поскладывайте его самостоятельно разными способами. Выполните следующее задание:

Задание 1.

Вырежьте правильный треугольник из бумаги. При помощи перегибаний разделите его на четыре равных треугольника (фигуры равны, если при наложении друг на друга они совпадают).

Математическое понимание гармонии предполагает равенство или соразмеренность частей между собой и части с целым. Числовые пропорции правильного треугольника наглядно показывают связь гармонии с прекрасным, её способности выражать эстетические каче­ства вещей и явлений. Памятники архитектуры, которые В. Гюго назвал «каменной книгой всех вре­мён и народов», сохранили до наших дней инфор­мацию о знаниях древними мастерами законов пропорционирования, симметрии и композиции. На рис. 2 прямоугольник, обрамляющий рельеф, построен в отношении высоты равностороннего треугольника к основанию.

Рис. 2. Рельеф из храма Атона в Ахататоне (С.Водчиц)

Интересным свидетельством использования правильного треугольника и других соотношений является один из многочисленных, дошедших до наших дней рельефов на гробнице эпохи Древнего царства (2800-2400 гг. до н.э.). На рельефе (рис. 3) изображена группа из семи египетских каменотёсов, занимающихся обработкой трёх каменных блоков. То, что мастера древности были знакомы с геометрическими построениями и расположили все фигуры в строгом

Рис. 3. Рельеф из храма Амона в Луксоре

(2800 — 2400 гг. до н.э.)

соответствии с правилами пропорционирования, наглядно подтверждает, один из каменотёсов, изображённый на рельефе как бы измеряющим диагональ блока.

Три точки (если они не лежат на одной прямой) однозначно определяют плоскость. «Поверхность состоит из треугольников», — говорил Платон, а у пифагорейцев равносторонний треугольник сим­волизировал Афину, богиню мудрости. Простран­ство, в котором мы живём, является трёхмерным (длина, ширина и высота), а положение любой точки в пространстве определяется тремя координатами. Быть может, поэтому в фольклоре разных народов часто встречаются три желания, три попытки, три царевича ... Три качества или богословских добродетели: Вера, Надежда, Любовь. В Японии три Сокровища — это зеркало, меч и самоцвет; истина, мужество и сострадание.

Задание 2.

Сторона равностороннего треугольника равна 3 см. (рис. 4). Сколько треугольных сантиметров составляет его площадь?

Треугольные сантиметры ничем не хуже традиционных и привычных квадратных сантиметров.

Для простоты восприятия представьте, что единичными плитками (треугольной или квадратной формы) нужно выложить пол. Сколько единичных плиток (в задании 2 за единицу взят 1 см.) — такова и застеленная плитками площадь.

Вернитесь к рис. 1 и посчитайте площадь треугольника. Какая просле­живается закономерность?

При разбиении правильного треугольника на единичные маленькие треугольнички давайте ус­ловимся называть «порядком треугольника» число рядов, на которые треугольник поделён. Например, на рис. 5 изображён треугольник четвёртого порядка. Площадь правильного треугольника (в треу­гольных сантиметрах) и его «порядок» взаимосвя­заны простой формулой.

Как построить правильный треугольник, т.е. многоугольник, имеющий три равные стороны и равные углы, из круга, рассказывалось в 3 (17) номере журнала. Построения из квадрата приведены на с. 29.

Наиболее простым и скорее всего самым древ­ним является построение при помощи циркуля и линейки (натянутой верёвки и колышка). Проделайте эти построения самостоятельно:

нарисуйте окружность произвольного радиуса;

поставьте ножку циркуля на окружность и, не меняя радиуса, нарисуйте вторую окружность. Она пересечёт первую окружность в двух точках;

поставьте ножку циркуля в одну из точек пересечения и нарисуйте третью окружность того же радиуса;

при помощи линейки соедините центры трёх окружностей — получится правильный треугольник.

В Христианстве три одинаковые пересекающиеся окружности олицетворяют Троицу (три в одном) — Отец, Сын и Дух Святой. День Святой Троицы — один из двунадесятых праздников (это двенадцать величайших праздников после Пасхи), на Руси он празднуется особенно торжественно. Пятидесятницей он иначе называется потому, что празднуется в пятидесятый день после Пасхи (7x7=49+1).

Пятидесятый год (рождения или какого-либо события) принято считать великим годом, юбилейным, и как правило, отмечать на широкую ногу. Это связано с тем, что число 50 символизирует во мно­гих религиях возврат к началу, к исходному состо­янию, к новому старту. Пятидесяти лунным циклам (четырём годам) равен промежуток между Олимпийскими играми в древности.

Задание 3.

Равносторонний треугольник со сторонами 7 единиц (7-го порядка) «выложен» единичными равносто­ронними треугольниками (рис. 6). Посчитайте их число.

Рис. 5.

Равенство и соразмерность частей равносто­роннего треугольника между собой и частей с целым удивительно гармоничны. Пропорциональ­ность, заложенная в правильном треугольнике, показывает, насколько утончённо, взаимосвязано и продумано всё устроено в нашем мире.

Рис. 6

В равностороннем треугольнике все высоты, медианы и биссектрисы пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 1:2 (рис. 7).

Рис. 7

На рис. 8 двойной треугольник, шестиконечная звезда, Печать Соломона или звезда Давида — в настоящее время эмблема на флаге государства Израиль. Исторически олицетворял союз противоположностей, мужского и женского, поло­жительного и отрицательного; причём верхний треугольник исторически был белым, а нижний чёрным.

Рис. 8

Правильный треугольник можно рассматривать как главный ключ к конструкции геометрических фигур. Из пяти Платоновых тел у трёх (тетраэдра, октаэдра и икосаэдра) грани — равносторонние треугольники!

Используя рис.1, без особого труда можно из плоского листа бумаги получить простейшую объёмную фигуру — тетраэдр.

Бильярдные шары (имеющие номера от 1 до 15) в начале партии складываются в «пирамиду», имеющую форму правильного треугольника. Шаров в такую пирамиду помещается несколько меньше, чем поместилось бы «единичных» треугольников. Наблюдая за одной партией в бильярд, Джорж Зихерман придумал и решил следующую задачу:

Задача 4.

Можно ли из 15 бильярдных шаров, выстраиваемых перед началом партии, составить так называемый разностный треугольник? В разностном треугольнике числа от 1 до 15 расставлены так, что каждое число, стоящее в лю­бом ряду, начиная со второго сверху и ниже, рас­положено между двумя числами предыдущего ряда и равно абсолютной величине их разности.

Рис.9

Например, на рис.9 приведено одно из решений для задачи из шести шаров (для второго ряда: 6-2 = 4, 2-5 = 3; а для третьего ряда: 4-3=1). В случае «пирамиды» из шести шаров есть ещё три других решения. Столько же решений и для случая с 10 шарами).

Для задачи с 15 шарами существует только одно (с точность до отражения) решение. Для аналогич­ных треугольников более 5-го порядка (т.е. треугольников, вдоль стороны которых укладывается более 5 шаров) решения не существует!

Случайно ли совпадение числа предельного по­рядка треугольника в этой математической задаче с числом Платоновых тел, неизвестно. Поразмыш­лять о гармонии мироздания и пропорционально­сти вы можете складывая из равносторонних треугольников известные и собственные модели оригами.

А. П. Никулин, Москва

⇨:  Выпуклые многогранники

⇦: Царевна-Лебедь

⇧ (Оглавление № 19)