Оригами № 2(17) 1999

 

 

 

Круг

 

 

В этой рубрике журнала мы до­говорились называть красивыми пропорциями, или форматами, та­кие, которые являются наиболее гармоничными, соответс­твующими природным пр­опорциям и пропорциям человека, его восприятию и ощущениям. Геометрическими фигурами, наи­более полно выражающими этот принцип, принято считать круг, квадрат, прямоугольник, треу­гольник и правильный пятиугольник.

В этом номере мы постараемся разглядеть кра­соту и пропорциональность круга и изделий ори­гами, выполненных из него.

 

 

Окружность древние греки считали самой со­вершенной из всех геометрических фигур за её удивительно гармоничные свойства — все точки окружности расположены на одинаковом рас­стоянии от её центра. Именно поэтому окруж­ность — единственная фигура (в т.ч. и среди кри­вых), которая может «скользить сама по себе», вращаясь вокруг центра. Это свойство окружнос­ти легло в основу одного из величайших изобрете­ний человечества — колеса.

Возьмите нитку произвольной длины и свяжите её концы. Положив на стол, сделайте из неё окруж­ность, а затем любой многоугольник (квадрат, тре­угольник и т.д.). Площадь, ограниченная окруж­ностью (т.е. площадь круга), — наибольшая среди возможных из полученных таким образом площадей. Кроме того, говоря о площадях каких-либо других фигур, обычно говорят: «площадь квадрата» или, например, «площадь пятиугольни­ка», но не площадь, ограниченная квадратом.

Таким образом, введя два понятия — окруж­ность и круг, наши предки особо выделили значи­мость удивительно гармоничной фигуры.

Для изучения другого замечательного свойства окружности нам понадобится лист тонкой, прозрачной бумаги (лучше всего кальки). Проделайте последовательно действия:

 

 

1.      Нарисуйте окружность на листе прозрачной бумаги.

  1. Обозначьте центр окружности буквой - О. Выберете внутри окружности произвольно точку А, отличную от центра окружности.
  2. Перегните лист бумаги так, чтобы точка А оказалась на окружности.
  3. Задание имеет множество решений, поэтому перегните лист бумаги несколько раз. Всякий раз точка А должна попадать на окружность. При достаточно большом количестве перегибов можно убедиться в том, что каждая линия сгиба касается эллипса. Эллипс будет «проявляется» как огибающая касательных. Точки О и А являются фокусами этого эллипса.

Вписание греческими ремесленниками в круг квадрата и равностороннего треугольника для гармонизации произведения

 

 

Подобным образом можно построить гипер­болу и параболу, расположив точку А на окружнос­ти или вне неё.

Таким простым способом, путём складывания прозрачного листка бумаги, легко убедиться во взаимосвязи этих кривых. Окружность при этом является как бы прародительницей эллипса, гипер­болы и параболы. Все четыре кривые (окружность, эллипс, гипербола и парабола) являются коничес­кими сечениями. Других «правильных» кривых в природе нет. А сколько различных вариантов вы­бора месторасположения точки А? Очевидно, что тоже четыре (в центре окружности, внутри окруж­ности, на самой окружности и вне неё).

Задача о квадратуре круга — одна из самых знаменитых задач древности. Построить с помо­щью циркуля и линейки квадрат, площадь которо­го равнялась бы площади данного круга, пытались на про­тяжении четырёх тысячелетий. Только в 1882 г. немецкий математик Ф.Линдеман доказал, что с помо­щью циркуля и линейки эту задачу ре­шить невозможно. А при помощи оригами? Вопрос пока остаётся открытым...

Решим более простую задачу, связанную с квад­ратом и кругом. Для этого сделаем построения:

  1. Из листа бумаги вырежем круг.
  2. Впишем в него квадрат. Для этого разделим окружность на четыре равные части, а затем перегнём по хордам.
  3. В получившийся квадрат впишем ещё один — поменьше. Углы меньшего квадрата должны находиться посередине сторон большого квадрата

Задача: Если радиус круга равен 1, чему будет равна сторона меньшего квадрата?

(Ответ)

Пытаясь объяснить строение Вселенной исхо­дя из принципов целесообразности и красоты, И. Кеплер брал за основу правильные многогран­ники и окружность. Размышления Кеплера относи­тельно ­строения солнечной системы, в итоге при­ведшие к знаменитым «законам Кеплера», начинались с по­пытки (оказавшейся неудачной) связать само число известных к тому времени пла­нет Солнечной сис­темы, а также расстояние этих планет от Солнца с пятью правильными многогран­никами. (Невоору­жённым глазом с Земли можно наблюдать только пять планет!) Его первые и оши­бочные рассуждения заключались в следующем: орбиты всех планет расположены на сферах, ко­торые последовательно вписаны в одни правиль­ные тела и описаны вокруг других, — вроде того, как у нас на плоскости в по­следней задаче.

 

 

Окружности и её части — дуги являют­ся обяза­тельными элемента­ми в архитекту­ре раз­личных эпох и стилей. Красота и про­порцио­нальность окружнос­ти, как совер­­шенной геометрической фор­мы, привлека­ла к себе внимание художников и

 

Образцы некоторых древних семейных гербов японцев

 

архитекторов с древнейших времён. Окружности, дуги, раз­личные арки явля­ются не просто частя­ми конструкции, а при­дают  «воздушность» торжественность и «лёгкость» всему ар­хитектурному ансамблю.

Для проектирования архитектурных деталей и сооруже­ний круговой формы древние зодчие ис­пользовали деление целого эталона на 21 элемент. Поскольку при любых разме­рах круга, если его ди­аметр разделить на 21 часть, то на са­мой окруж­ности с большой точностью будет укладываться 66 таких же отрезков (C=27iR=rcD; 66:21=3,1428....). Соответственно цифры 21 и 66 приобрели особый, мистический оттенок...

Дмитровский собор в

городе Владимире, XII век

 

 

Циферблат часов поделён на 12 равных частей. Почему именно 12? Достоверно известно, что еги­петские геометры («гарпедонаптаи» — натягиватели верёвок) в качестве измери­тельного инструмента использовали верёвку, поделенную уз­лами на 3/12,4/12 и 5/12 частей своей длины. Попробуйте самостоятельно разделить верёвку в таких пропор­циях путём складывания. Есть (или нет) между де­лением окружности и верёвки на 12 равных частей какая-либо взаимо­связь? Пораз­мыш­ляйте на эту тему.

В создании орна­ментов часто ис­пользуются окружно­сти.

Елецкое кружево (кружевной промысел возник во многих сёлах и деревнях близ Ельца в начале XIX века)

 

 

«Кусудамы — вол­шебные шары» рож­дались в одном из приложений к наше­му журналу из от­­дельных частей-модулей, каждый из которых в свою оче­редь складывался из квадратика бумаги. Быть может, используя в каче­стве исходного формата круг, можно тоже получить красивые и гармоничные оригами? Моделей ори­гами из круга пока известно не так много.

Для складывания своих собственных оригами из круга вам может понадобиться разделить его на равные части — об этом заметка В.Гончар.

 

 

Товарные

знаки некоторых автомобильных фирм

 

 

А в заключение несколько вопросов, над кото­рыми задумайтесь в часы досуга:

  • почему стержень шариковой ручки в поперечном сечении имеет форму круга? (аналогично — одножильный провод, стержень карандаша, люминесцентная лампа, бутылка...);
  • почему железные крышки водо-канализационных люков круглые?
  • почему монеты и медали круглые, а ордена нет?
  • почему говорят «круглый дурак» (или, наоборот «круглый отличник»), а не, например «квадратный»?
  • «круговая порука» — это, наверное, не то же самое, что «любовный треугольник»?

Посмотрите по сторонам, таких «почему» вы сможете задать себе и нам много. Напишите о сво­их размышлениях на этот счёт. А может быть, кто-то попытается сложить (известные и новые) базо­вые формы и модели не из квадрата, а из круга?

Андрей НИКУЛИН

 

Ответ к задаче: сторона меньшего квадрата равна радиусу круга.

 

 

 

: Корейские ребята

: Томас Халл

(Оглавление № 17)

 

 

 

 

 

 

 

 



Hosted by uCoz