|
|
Текстовые
труды IX Сибирской конференции «Оригами в учебном процессе», г. Омск, 27-29 марта
|
|
|||||||||
|
|
ФОРМИРОВАНИЕ ПРЕДПОНЯТИЙ ПРАВИЛЬНЫХ И ПОЛУПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ Шеремет Г.Г., к.п.н., г. Пермь Будем говорить, что ученик овладел предпонятием
геометрического объекта, если у него сформированы широкий запас свойств,
существенных для соответствующего геометрического понятия (образующих более
чем один необходимый и достаточный набор), и объём понятия, который может
дифференцироваться в дальнейшем, т.е. можно констатировать неполную
систематизацию на уровне обобщённых представлений. При этом ученик ещё может
не уметь выделять минимального достаточного набора свойств геометрического
объекта, на основе которого формируется определение, а геометрический объект
может описывать не через ближайшее родовое понятие, т.е. у ученика ещё не
сформирована иерархия понятий вышележащих уровней. Формирование предпонятий плоских и объёмных геометрических
фигур происходит при построении моделей оригами. Для этого необходимо, чтобы
процесс обучения обеспечивал введение в мир оригами, освоение техники
выполнения оригами-изделий, знакомство с условными знаками, основными
базовыми формами, схемами. При этом последовательность собираемых моделей
может быть произвольной. Самое главное требование к ним, по нашему мнению, -
не очень высокая сложность построения. Поэтому мы советуем либо обратиться к
простейшим моделям из направления классического оригами, либо к модульному
оригами. В последнем случае модули должны соединяться по возможности без
клея, не очень сложно, и готовая модель - быть прочной. Методами модульного оригами можно не только достаточно
просто создавать модели правильных и звёздчатых многоугольников, но и перейти
к созданию пространственных фигур. Одной из разновидностей модульного оригами
являются кусудамы - одни из самых древних и декоративных традиционных
японских изделий. «Кусури» на японском языке означает «лекарство», «тама» -
«шар». Следовательно, слово «кусудама» можно перевести как «лекарственный
шар». Вместе с тем так называются декоративные шарообразные конструкции,
собранные из бумажных цветков, розеток или модулей другой формы. При этом
кусудамы тесно связаны с правильными и полуправильными многогранниками,
поскольку то, что оригамисты называют «шарообразной конструкцией», с точки
зрения геометрии оказывается многогранником, который можно вписать в шар. Для
этого удобнее всего использовать архимедовы и платоновы тела. Проведённый
нами анализ показывает, что в традиционном оригами кусудамы чаще всего
строятся на основе только трёх многогранников: куб, усечённый куб и
додекаэдр. Оставшиеся три платоновых и тринадцать архимедовых тел дают
богатые возможности для творчества. При таком подходе большую роль играют
следующие характеристики многогранников: число граней, вершин, рёбер, сколько
рёбер сходится в одной вершине. Поэтому в самом начале работы мы рекомендуем
построить модель каждого из полуправильных многогранников методами модульного
оригами. Построенные модели должны удовлетворять следующим требованиям:
занимательность; наглядность; невысокая сложность построения. Известно, что
гранями правильных и полуправильных многогранников могут быть только
правильные n-угольники при n = 3, 4, 5, 6, 8 и 10. В
связи с этим нами собраны из различных литературных источников,
интернет-сайтов, а также самостоятельно разработаны авторские модели модулей
в форме правильных многоугольников с удобной системой «карманов» и «вставок».
По результатам построения моделей многогранников в процессе работы
заполняется следующая таблица (табл. 1), где Г, В, Р, n - число граней, вершин,
рёбер и рёбер, сходящихся в одной вершине соответственно. Таблица 1. |
|
|||||||||
|
|
№
п/п |
Название
многогранника |
Рисунок |
Граней |
Вершин |
Рёбер |
n |
|
|||
|
|
1. |
Тетраэдр |
|
4 треугольных |
4 |
6 |
3 |
|
|||
|
|
2. |
Октаэдр |
|
8 треугольных |
6 |
12 |
4 |
|
|||
|
|
3. |
Куб |
|
6 квадратных |
8 |
12 |
3 |
|
|||
|
|
4. |
Додекаэдр |
|
12 пятиугольных |
20 |
30 |
3 |
|
|||
|
|
5. |
Икосаэдр |
|
20 треугольных |
12 |
30 |
5 |
|
|||
|
|
6. |
Усечённый тетраэдр |
|
4 треугольных 4 шестиугольных |
12 |
18 |
3 |
|
|||
|
|
7. |
Усечённый куб |
|
8 треугольных 6 восьмиугольных |
24 |
36 |
3 |
|
|||
|
|
8. |
Кубооктаэдр |
|
8 треугольных 6 квадратных |
12 |
24 |
4 |
|
|||
|
|
9. |
Усечённый октаэдр |
|
6 квадратных 8 шестиугольных |
24 |
36 |
3 |
|
|||
|
|
10. |
Усечённый додекаэдр |
|
20 треугольных 12 десятиугольных |
60 |
90 |
3 |
|
|||
|
|
|
Усечённый икосаэдр |
|
12 пятиугольных 20 шестиугольных |
60 |
90 |
3 |
|
|||
|
|
|
Икосододекаэдр |
|
20 треугольных 12 пятиугольных |
30 |
60 |
4 |
|
|||
|
|
|
Ромбокубооктаэдр |
|
8 треугольных 18 квадратных |
24 |
|
4 |
|
|||
|
|
|
Усечённый кубооктаэдр |
|
12 квадратных 8 шестиугольных 6 восьмиугольных |
48 |
72 |
3 |
|
|||
|
|
|
Ромбоикосододекаэдр |
|
20 треугольных 30 квадратных 12 пятиугольных |
60 |
120 |
4 |
|
|||
|
|
|
Усечённый икосододекаэдр |
|
30 квадратных 20 шестиугольных 12 десятиугольных |
120 |
180 |
3 |
|
|||
|
|
|
Курносый куб |
|
32 треугольных 6 квадратных |
24 |
60 |
5 |
|
|||
|
|
|
Курносый додекаэдр |
|
80 треугольных 12 пятиугольных |
60 |
150 |
5 |
|
|||
|
|
(P.S. Изображения многогранников приведены по альбому
В.В.Гончар «Кристаллы», г. Долгопрудный: «Аллегро-Пресс», В соответствии
с характеристиками многогранников, приведёнными в табл.1, мы выделяем три
основных направления моделирования кусудам, в основе которых лежат правильные
и полуправильные многогранники. Охарактеризуем каждое из них. МОДЕЛИРОВАНИЕ
ГРАНЕЙ МНОГОГРАННИКА Из
характеристик многогранника в этом направлении выделяются число и вид граней.
Моделью грани может быть звезда, цветок или иная фигура в форме правильного
многоугольника. В случаях правильных многогранников, когда все грани -
одинаковые правильные многоугольники, или полуправильных многогранников,
когда звёздами или цветами заменяется только один вид граней, а вместо
остальных остаются отверстия, проведение вычислений не требуется. В других
случаях, для того, чтобы разноимённые многоугольные грани имели рёбра
одинаковой длины, необходим метрический анализ построений. Поэтому на первом
этапе размеры исходных листов бумаги подсказывает учитель. В дальнейшем
использованные результаты дают богатый материал для решения треугольников. На
рис. 1-2 представлены модели, в основе которых лежит усечённый икосаэдр,
построенные учащимися гимназии № |
|
|||||||||
|
|
Рис. 1 |
Рис.2 |
|
||||||||
|
|
Представление результатов проделанной работы проводится учащимися в виде выставки и защиты проекта. На неё выносятся следующие вопросы: · название многогранника, лежащего в основе композиции; · число и вид его граней; · используемые модели многоугольников и схемы их складывания; · название композиции и её литературное оформление; · художественная композиция, включение дополнительных элементов. МОДЕЛИРОВАНИЕ РЁБЕР МНОГОГРАННИКА В этом направлении используются следующие характеристики многогранника: общее число рёбер и число рёбер, сходящихся в одной вершине. Так как метрические характеристики многогранника пока не рассматриваются, то при построении моделей используются «универсальные» модули, для которых не имеет значение, под каким углом пересекаются рёбра. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕРШИН МНОГОГРАННИКА Основная характеристика многогранников, используемая в данном направлении моделирования - число вершин, и число рёбер, сходящихся в одной вершине. Например, из модуля, разработанного Н.Д. Острун, можно собрать кусудаму, в основе которой лежит модель любого правильного или полуправильного многогранника, в вершине которого сходится четыре ребра. |
|
|||||||||
|
|
Рис. 3. |
На рис. 3 представлена модель, построенная из модулей Н.Д. Острун. В основе этой модели лежит ромбоикосододекаэдр. |
|
||||||||
|
|
⇦: Занятия геометрией в летней
гуманитарно-математической школе |
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
