Оригами № 2/3(30/31) 2002

Флексагоны

Флексагоны - это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоуголь­ной или более сложной, изогнутой формы. Флексагоны обладают удивительны­ми свойствами: при перегибании их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно выходят наружу. Если бы не одно слу­чайное обстоятельство - различие в форматах английских и американских блок­нотов - флексагоны, возможно, не были бы открыты и по сей день.

Открытие флексагонов произошло в конце 1939 года. Артур X. Стоун, двадцатитрёхлетний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный размер. Что­бы немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бу­маги различные фигуры. Одна из сложенных фигур показалась ему особенно ин­тересной. Перегнув полоску в трёх местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник. Взяв шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с цент­ром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что, когда шестиугольник раскрывался, словно бутон цветка, видимой становилась совсем другая поверх­ность. Так был открыт первый флексагон с тремя поверхностями. После некото­рых размышлений Стоуну удалось построить и более сложный флексагон с шес­тью поверхностями. Стоун поделился с друзьями по университету своим открытием удивительной фигуры. И вскоре был создан «Флексагонный комитет» для изучения свойств изогнутой полоски бумаги.

Модели были названы «флексагон» из-за их способности складываться (от англ. to flex - складываться, сгибаться, гнуться). Комитет обнаружил, что с увели­чением цепочки треугольников, из которых состоит полоска бумаги, можно изго­товить флексагоны с 9, 12, 15 и большим числом поверхностей. Один из членов комитета ухитрился даже изготовить действующую модель флексагона с 48 по­верхностями! Флексагоны можно изготовить не только из прямой полоски бума­ги, но и из полоски, предварительно изогнутой самым причудливым образом.

Полная математическая теория флексагонов была разработана в 1940 году. Теория указывает точный способ построения флексагонов с любым числом сто­рон. В полном виде теория так и не была опубликована.

Самую замечательную головоломку - флексотрубку - Стоун случайно открыл, работая над флексагонами, имеющими форму прямоугольного треугольника. Построив флексагон в форме квадрата, Стоун к своему изумлению обнаружил, что может превратить его в трубку. Как показали дальнейшие эксперименты, труб­ку можно полностью вывернуть наизнанку, если воспользоваться сложной систе­мой сгибов по сторонам прямоугольных треугольников.

Флексотрубка делается из полоски бумаги, поделённой на четыре квадрата. Каждый из квадратов, в свою очередь, разделён на четыре прямоугольных треу­гольника по диагонали. Склеив концы полоски, можно получить трубку квадрат­ного сечения. Задача заключается в том, чтобы, пользуясь только намеченными складками, вывернуть трубку наизнанку. Попробуйте решить эту задачу. Для это­го можно изготовить более прочную модель, наклеив на матерчатую ленту 16 тре­угольников из картона. Оставьте между треугольниками небольшой зазор, чтобы полоска легко сгибалась.

Мартин ГАРДНЕР

«Математические головоломки и развлечения», 1971

с любезного разрешения издательства «Мир»

⇨:  Шерри Левис и Лилиан Оппенгеймер

⇦:  Оригами в школах Японии и на Западе

⇧ (Оглавление № 30)